04. 寻找两个正序数组的中位数

题目描述

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。

算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。

示例 1：
输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2

示例 2：
输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

提示：
nums1.length == m
nums2.length == n
0 <= m <= 1000
0 <= n <= 1000
1 <= m + n <= 2000
-106 <= nums1[i], nums2[i] <= 106

题解

解法一：分别从两个数组中按照升序不断取元素，直到取到 m+n/2 个元素，然后取中位数

class Solution {
 public:
  double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
    int n = nums1.size(), m = nums2.size();
    int total = n + m;
    int target1 = (total + 1) / 2, target2 = (total + 2) / 2;
    int i = 0, j = 0, cnt = 0;
    double median1 = 0, median2 = 0;

    while (i < n || j < m) {
      int num;
      if (i < n && (j >= m || nums1[i] < nums2[j])) {
        num = nums1[i++];
      } else {
        num = nums2[j++];
      }
      cnt++;
      if (cnt == target1) {
        median1 = num;
      }
      if (cnt == target2) {
        median2 = num;
        break;
      }
    }

    return (median1 + median2) / 2;
  }
};

解法二：归并排序

class Solution {
public:
    /*
    解题思路：
        合并两数组，并利用std::sort进行排序，
        对合并后的有序数组进行中位数求解，分两种情况：
        1.数组元素个数为奇数，则直接取下标为【(n+1)/2】的元素为结果；
        2.数组元素个数为偶数，则取下标为【len/2-1】和【len/2】元素的平均值作为结果
    */
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        double midNum = 0.0;
        for (int i=0; i<nums2.size(); i++){
            nums1.push_back(nums2[i]);
        }
        sort(nums1.begin(), nums1.end());
        int len = nums1.size();
        if (0 == len%2){
            len = len/2;
            midNum = (nums1[len-1] + nums1[len]) / 2.0;
        }
        else{
            midNum = nums1[len/2]/1.0;
        }
        return midNum;
    }
};

解法三：二分查找 (分治)

解法一、二的时间复杂度均为 O(m+n)，尽管能 AC，但是并不满足题目要求。题目要求时间复杂度为 O(log(m+n))，因此需要使用二分查找进行降低时间复杂度。

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int m = nums1.size(), n = nums2.size();
        function<int(int, int, int)> f = [&](int i, int j, int k) {
            if (i >= m) {
                return nums2[j + k - 1];
            }
            if (j >= n) {
                return nums1[i + k - 1];
            }
            if (k == 1) {
                return min(nums1[i], nums2[j]);
            }
            int p = k / 2;
            int x = i + p - 1 < m ? nums1[i + p - 1] : 1 << 30;
            int y = j + p - 1 < n ? nums2[j + p - 1] : 1 << 30;
            return x < y ? f(i + p, j, k - p) : f(i, j + p, k - p);
        };
        int a = f(0, 0, (m + n + 1) / 2);
        int b = f(0, 0, (m + n + 2) / 2);
        return (a + b) / 2.0;
    }
};

思路：两个升序数组求中位数，简化问题为求第 (m+n+1)/2 和第 (m+n+2)/2 个数的平均值，即找到两个正序序列的第 (m+n+1)/2 小的数和第 (m+n+2)/2 小的数。此时问题可归纳为：两个正序序列，如何找到第 k 小的数。二分法查找，每个数组中各取 k/2 的元素比较大小，较小部分的元素必然不是第 k 小的数，因此移动较小部分的指针，递归继续。

总结

1. 第一直觉：归并排序，解法一和二本质相同，但时间复杂度无法满足题解要求
2. 关键点：O(log(m+n))，二分查找
3. 简化问题模型，根据中位数特性，将问题转化为求第 k 小的数，二分查找迭代计算
4. 解法三使用lambda表达式，以及函数递归调用，会导致耗时和内存消耗增加，提交测试耗时和内存同解法一相似，可简化为普通函数和循环计算，避免递归次数过多导致栈溢出